2015考研數(shù)學(xué)一答案 2015考研數(shù)學(xué)一真題【正確答案】

1990-2011考研英語真題及答案詳解

• 類型：外語學(xué)習(xí)大小：5M語言：中文 評分：8.5
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2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試題及正確答案！

下邊以文字的形式為大家?guī)砣款}目及其答案！

一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點(diǎn)的個(gè)數(shù)為                                           (   )

(A)             (B)           (C)             (D)  

【答案】（C）

【解析】拐點(diǎn)出現(xiàn)在二階導(dǎo)數(shù)等于0，或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，并且在這點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)函數(shù)異號(hào)。因此，由的圖形可得，曲線存在兩個(gè)拐點(diǎn).故選（C）.

(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解，則                                                            (   )

(A)             

(B)           

(C) 

(D) 

【答案】（A）

【分析】此題考查二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的反問題——已知解來確定微分方程的系數(shù)，此類題有兩種解法，一種是將特解代入原方程，然后比較等式兩邊的系數(shù)可得待估系數(shù)值，另一種是根據(jù)二階線性微分方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)來求解，也就是下面演示的解法.

【解析】由題意可知，、為二階常系數(shù)齊次微分方程的解，所以2,1為特征方程的根，從而，，從而原方程變?yōu)�，再將特解代入�?故選（A）

(3) 若級數(shù)條件收斂，則 與依次為冪級數(shù)的 (   )

(A) 收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)             

(B) 收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)          

(C) 發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)

(D) 發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)

【答案】（B）

【分析】此題考查冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間，冪級數(shù)的性質(zhì).

【解析】因?yàn)闂l件收斂，即為冪級數(shù)的條件收斂點(diǎn)，所以的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為.而冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)不改變收斂區(qū)間，故的收斂區(qū)間還是.因而與依次為冪級數(shù)的收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn).故選（B）.

(4)  設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則                    (   )

(A)             

(B)       

(C) 

(D)  

【答案】（B）

【分析】此題考查將二重積分化成極坐標(biāo)系下的累次積分

【解析】先畫出D的圖形，

所以，故選（B）

(5) 設(shè)矩陣，，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為                                  (   )

(A)        

(B)     

(C) 

(D) 

【答案】D

【解析】，

由，故或，同時(shí)或。故選（D）

(6)設(shè)二次型 在正交變換為 下的標(biāo)準(zhǔn)形為 ，其中 ，若 ，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為                                                                   (   )

(A) 

(B) 

(C) 

(D) 

【答案】(A)

【解析】由，故.且

.

所以。選（A）

 (7) 若A,B為任意兩個(gè)隨機(jī)事件，則                                   (   )

(A)               (B) 

(C)               (D) 

【答案】(C)

【解析】由于，按概率的基本性質(zhì)，我們有且，從而，選(C) .

(8)設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則 (   )

(A)         (B)           (C)          (D) 

【答案】(D)

【解析】

          ，選(D) .

二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.

(9) 

【答案】

【分析】此題考查型未定式極限，可直接用洛必達(dá)法則，也可以用等價(jià)無窮小替換.

【解析】方法一：

方法二：

(10) 

【答案】

【分析】此題考查定積分的計(jì)算，需要用奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的性質(zhì)化簡. 

【解析】 

(11)若函數(shù)由方程確定，則

【答案】

【分析】此題考查隱函數(shù)求導(dǎo).

【解析】令，則

又當(dāng)時(shí)，即.

所以，因而

(12)設(shè)是由平面與三個(gè)坐標(biāo)平面平面所圍成的空間區(qū)域，則

【答案】

【分析】此題考查三重積分的計(jì)算，可直接計(jì)算，也可以利用輪換對稱性化簡后再計(jì)算.

【解析】由輪換對稱性，得

，

其中為平面截空間區(qū)域所得的截面，其面積為.所以

(13) 階行列式

【答案】

【解析】按第一行展開得

(14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則

【答案】 

【解析】由題設(shè)知，，而且相互獨(dú)立，從而

      .

三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)，，若與在是等價(jià)無窮小，求的值.

【答案】

【解析】法一：原式

即

法二：

因?yàn)榉肿拥臉O限為0，則

，分子的極限為0，

，

(16)(本題滿分10分) 設(shè)函數(shù)在定義域I上的導(dǎo)數(shù)大于零，若對任意的，由線在點(diǎn)處的切線與直線及軸所圍成區(qū)域的面積恒為4，且，求的表達(dá)式.

【答案】.

【解析】設(shè)在點(diǎn)處的切線方程為：

令，得到，

故由題意，，即，可以轉(zhuǎn)化為一階微分方程，

即，可分離變量得到通解為：，

已知，得到，因此；

即.

(17)(本題滿分10分)

已知函數(shù)，曲線C：，求在曲線C上的最大方向?qū)?shù).

【答案】3

【解析】因?yàn)檠刂荻鹊姆较虻姆较驅(qū)?shù)最大，且最大值為梯度的模.

，

故，模為，

此題目轉(zhuǎn)化為對函數(shù)在約束條件下的最大值.即為條件極值問題.

為了計(jì)算簡單，可以轉(zhuǎn)化為對在約束條件下的最大值.

構(gòu)造函數(shù)：

，得到.

所以最大值為.

(18)(本題滿分 10 分)

（I）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)定義證明

（II）設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，，寫出的求導(dǎo)公式.

【解析】（I）

（II）由題意得

(19)(本題滿分 10 分) 

    已知曲線L的方程為起點(diǎn)為，終點(diǎn)為，計(jì)算曲線積分.

【答案】

【解析】由題意假設(shè)參數(shù)方程，

(20) (本題滿11分)
     設(shè)向量組內(nèi)的一個(gè)基，，，.

（I）證明向量組為的一個(gè)基;

（II）當(dāng)k為何值時(shí)，存在非0向量在基與基下的坐標(biāo)相同，并求所有的.

【答案】

【解析】(I)證明：

故為的一個(gè)基.

（II）由題意知，

即

即

即，得k=0

(21) (本題滿分11 分) 

設(shè)矩陣相似于矩陣.

(I) 求的值；

（II）求可逆矩陣，使為對角矩陣..

【解析】(I) 

(II)

的特征值

時(shí)的基礎(chǔ)解系為

時(shí)的基礎(chǔ)解系為

A的特征值

令，

(22) (本題滿分11 分) 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為

對 進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)的觀測,直到2個(gè)大于3的觀測值出現(xiàn)的停止.記為觀測次數(shù).

(I)求的概率分布;

(II)求           

【解析】(I) 記為觀測值大于3的概率，則，

     從而， 

為的概率分布；

 (II)

記，則，

，

，

所以，

從而.

(23) (本題滿分 11 分)設(shè)總體X的概率密度為：

其中為未知參數(shù)，為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本.

(I)求的矩估計(jì)量.

(II)求的最大似然估計(jì)量.

【解析】(I) ，

令，即，解得為的矩估計(jì)量；

    (II) 似然函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，則.

從而，關(guān)于單調(diào)增加，

所以為的最大似然估計(jì)量.